Historia.

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10⁻⁷ = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10⁻⁴ = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 10⁷ = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula:N = 10⁷(1 − 10⁻⁷)^L. Donde (1 − 10⁻⁷)¹⁰⁷ es aproximadamente 1/e, haciendo L/10⁷ equivalente a log_1/e N/10⁷. 

Inicialmente, Napier llamó «números artificiales» a los logaritmos y «números naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número que indica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su «teorema fundamental», que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

Importancia.

La importancia de los logaritmos está en que gracias a ellos, se facilita la resolución de cálculos muy complejos, lo que ha contribuido enormemente al avance de la ciencia. Si bien es cierto que son elementos de estudios fundamentales en la matemática, lo importante de los logaritmos está en las posibilidades de aplicación que tienen en la vida real.

Sin los logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que hasta ahora han sido posibles. Entre los muchos avances a los que ha contribuido está el de la astronomía. También tiene múltiples aplicaciones en la geodesia, en la navegación marítima y la matemática aplicada. En la economía, los cálculos realizados con los logaritmos ayudan a conocimiento de la oferta y la demanda. En la banca, por ejemplo, ayuda al calcular el crecimiento de los depósitos. También se puede aplicar a la estadística, en la que sus cálculos ayudan a conocer el crecimiento de población. Otra de las aplicaciones que tienen los logaritmos está en la música, cuyos pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. La topografía es otro de los usos que tiene, ayudando a conocer la altitud de un edificio. En la biología ayuda en la realización del cálculo del pH. Y muchas más aplicaciones.

Aplicaciones.

Tanto los logaritmos naturales, como los logaritmos en base 10 son herramientas imprescindibles en la medida de las magnitudes cuyas medidas son muy grandes. Por ejemplo, los terremotos tienen que ser medidos con logaritmos dado a su amplia energía desprendida; la cual provoca tales catástrofes. Para medir la magnitud de los terremotos, se creó la Escala de Richter, la cual establece unos determinados valores según la cantidad de energía que liberan, es decir, midiendo la amplitud de las ondas sísmicas en superficie. Richter definió la magnitud(M), utilizando el logaritmo mediante la siguiente fórmula:

M = logA + C

También se pueden usar los logaritmos para medir la intensidad del brillo de las estrellas. Por ejemplo Sirio, que es la estrella más brillante, tiene una magnitud de -1,6. En cambio, la estrella polar, brilla con una magnitud de 2,1. Esto significa que Sirio, visto desde la Tierra, brilla unas 30 veces más aproximadamente.

Propiedades analíticas.

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como

Función logarítmica

Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación exponencial

tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.

Función inversa

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base bes la función inversa de f(x) = b^x.⁹

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = b^t) sobre el gráfico de fproporciona un punto (u, t = log_bu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa. 

Derivada e integral indefinida

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. Así, comof(x) = b^x es una función continua y diferenciable, también lo será log_b(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) es dada por^8 10

Representación integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:

En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.

 Trascendencia del logaritmo

El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneiderafirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o

Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes; por ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, log_b(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo casoa^q = b^p, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).

Identidades Logarítmicas.

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

• El logaritmo de un inverso multiplicativo es el inverso aditivo del logaritmo:

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la cuarta y quinta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

¿Qué son logaritmos?

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura ''log'' y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo.Siendo a la base, ''x'' el número e ''y'' el logaritmo.